Offtopicalia

El año pasado tuvimos que resolver un sencillo ejercicio de optimización. Se trataba de hallar el radio de una lata de refresco tal que el volumen de la lata fuera de 33cl pero que la cantidad de aluminio para fabricarla (o sea, la superficie de la lata) fuera el mínimo posible.

Mi pregunta es:

¿Se puede resolver el ejercicio si supones un grosor de la lata fijo? Quiero decir, matemáticamente, es posible aplastar la lata tanto como quieras, haciendo sus paredes infinitamente delgadas y que la lata cubra la Tierra entera si quieres. ¿Pero qué pasa si no pudieras estirar la superficie de la lata? Imaginad un grosor fijo (como debería ser en realidad si habláramos de la fabricación de una lata real), una cantidad fija de alumunio y un volumen constante de 33 cl. ¿La superficie de todas las latas posibles cambiaría?

(http://marketing.blogs.ie.edu/archives/lata%20coca-colas%202.jpg)

Las alargadas tiene menos coste de fabricación, pero eso eso porque la base y la superfície son las partes más caras. Si tienen la misma superfície... No lo sé.

Menos es nada  8)

Bueno, a causa de los pequeños problemas que hemos tenido con el servidor, el mensaje que escribí en este hilo se ha borrado, así que lo escribo de nuevo. :-| Y de nuevo te digo que no termino de entender lo que propones, pero es muy fácil calcular el radio de manera que la cantidad de aluminio utilizada sea la mínima posible, al mismo tiempo que la lata siga teniendo un volumen de 33 centilitros. Suponemos una lata cilíndrica de radio r y altura h, y de ahí despejamos la altura para dejarla en función del radio...


Ahora calculamos la superficie de aluminio empleada para fabricar la lata, que es igual a la suma de las superficies de las bases más la superficie del lateral, y sustituimos la altura anteriormente despejada para dejar toda la expresión en función del radio.


Derivamos toda la expresión y la igualamos a cero, y de ahí despejamos el valor del radio de la lata.


Una vez calculado el radio, podemos usar ese valor para calcular la altura de la lata, y si sustituimos ambos valores en la igualdad de partida, vemos que ésta se cumple, ya que obtenemos un volumen igual a los 33 centilitros deseados.


Espero no haberme equivocado otra vez despejando, sería para matarme. :uix: De todas formas me intriga saber qué es lo que propones (es posible que ya me hayas contestado y el mensaje se haya borrado), porque la verdad es que por más que leo tu mensaje no logro entenderlo del todo. El grosor de la lata es independiente de la superficie de ésta, al menos a un nivel básico de geometría, y no entiendo qué quieres decir con "una cantidad fija de aluminio". En fin...

Sí te contesté. Lo que te dije es que esa función presupone que la deformación posible de la lata es totalmente libre. Puedes estirarla cuanto quieras, el grosor de la lata varía sin restricciones y que puedes aplastarla tanto como quieras, de manera que aumentarías su superficie hasta que cubriera la Tierra entera, si quisieras.

¿Pero qué pasa si impones que el grosor de las paredes de la lata sea fijo (que es lo que ocurre en la fabricación de latas reales)? ¿También se podrían crear latas con distintas superficies para el mismo volumen?

Cita de: Safer en 11 de Diciembre de 2008, 22:39:34 PM
¿Pero qué pasa si impones que el grosor de las paredes de la lata sea fijo (que es lo que ocurre en la fabricación de latas reales)? ¿También se podrían crear latas con distintas superficies para el mismo volumen?

Yo creo que sí. Claro que sí.

Es decir, quieres que tanto el volumen como el grosor de la lata sean constantes, y de ahí calcular las dimensiones de la lata de modo que para su construcción se utilice la menor cantidad de aluminio posible, ya no en términos de superficie, sino de masa. El problema es que yo no veo esa inherencia entre las dimensiones de la lata y su grosor, no estamos hablando de tener una lata de un determinado volumen y deformarla hasta que su superficie sea mínima sin variar ese volumen, estirando la superficie como si de plastilina se tratase. Simplemente se trata de una optimización de la superficie, donde no entra en juego (ni puede entrar en juego) el grosor que conforma esa superficie. Está claro que si quieres utilizar el menor aluminio posible, además de optimizar la superficie has de utilizar un grosor muy bajo, pero yo creo que es algo totalmente independiente. Vamos, es posible que me equivoque, pero no veo el dilema por ningún sitio...

Cita de: PES Hero en 11 de Diciembre de 2008, 23:02:13 PM
Es decir, quieres que tanto el volumen como el grosor de la lata sean constantes, y de ahí calcular las dimensiones de la lata de modo que para su construcción se utilice la menor cantidad de aluminio posible, ya no en términos de superficie, sino de masa. El problema es que yo no veo esa inherencia entre las dimensiones de la lata y su grosor, no estamos hablando de tener una lata de un determinado volumen y deformarla hasta que su superficie sea mínima sin variar ese volumen, estirando la superficie como si de plastilina se tratase. Simplemente se trata de una optimización de la superficie, donde no entra en juego (ni puede entrar en juego) el grosor que conforma esa superficie. Está claro que si quieres utilizar el menor aluminio posible, además de optimizar la superficie has de utilizar un grosor muy bajo, pero yo creo que es algo totalmente independiente. Vamos, es posible que me equivoque, pero no veo el dilema por ningún sitio...

Divide la lata en pequeños cubos (como si fueran píxeles). ¿Puedo construir una lata del mismo volumen con menos cubitos? Yo es que pienso que si le quitas cubos, no puedes construir otro objeto con el mismo volumen, pero me puedo equivocar, por eso pregunto.

Si no te he entendido mal, cada cubito representa un diferencial de volumen. Si quitas diferenciales de volumen, te va a dar un volumen total menor obligatoriamente...

¿Pero de qué volumen estamos hablando? ¿Del volumen de aluminio (dependiente de la masa y la densidad de éste) o del volumen interno de la lata? El volumen interno de la lata no tiene nada que ver con el grosor del aluminio, es totalmente independiente, sólo depende de las dimensiones de la lata, tratando los bordes de ésta como si se tratasen de una superficie totalmente bidimensional, sin ningún tipo de grosor. Pero si hablamos del volumen de aluminio, está claro que disminuye conforme lo hace el grosor, porque ese grosor es el que conforma este volumen, que es una mera extrusión de la superficie que encierra el volumen interno de la lata.

Cita de: PES Hero en 11 de Diciembre de 2008, 23:44:58 PM
¿Pero de qué volumen estamos hablando? ¿Del volumen de aluminio (dependiente de la masa y la densidad de éste) o del volumen interno de la lata? El volumen interno de la lata no tiene nada que ver con el grosor del aluminio, es totalmente independiente, sólo depende de las dimensiones de la lata, tratando los bordes de ésta como si se tratasen de una superficie totalmente bidimensional, sin ningún tipo de grosor. Pero si hablamos del volumen de aluminio, está claro que disminuye conforme lo hace el grosor, porque ese grosor es el que conforma este volumen, que es una mera extrusión de la superficie que encierra el volumen interno de la lata.

Me refiero al volumen interior. Y no, no es independiente. Además, vuelves a incurrir en el mismo error, que es considerar las paredes internas como objetos bidimensionales.

Cita de: cloud633 en 11 de Diciembre de 2008, 23:24:25 PM
Si no te he entendido mal, cada cubito representa un diferencial de volumen. Si quitas diferenciales de volumen, te va a dar un volumen total menor obligatoriamente...

No me has entendido bien, porque eso serían los cubitos que cabrían dentro de la lata. Yo hablo de los cubitos que formarían las paredes de la lata.

Demuestra esa relación matemáticamente.

Cita de: PES Hero en 12 de Diciembre de 2008, 00:02:00 AM
Demuestra esa relación matemáticamente.

Se podría hacer por diferencias finitas. Deja que repase el tema (tengo que hacerlo) y te modelizo una lata cuadriculada.

Safer, depende. Si suponemos que las paredes de la lata son infinitamente delgadas, que tienen un grosor que tiende a cero... pues si quitamos algo de material, tenemos que reducir obligatoriamente el volumen. Si las paredes tienen, no se, 2 mm de grosor, pues podríamos reducir el grosor, eliminando material (y peso, ovbio) y manteniendo el volumen y la forma.

Cita de: cloud633 en 12 de Diciembre de 2008, 00:07:28 AM
Safer, depende. Si suponemos que las paredes de la lata son infinitamente delgadas, que tienen un grosor que tiende a cero... pues si quitamos algo de material, tenemos que reducir obligatoriamente el volumen. Si las paredes tienen, no se, 2 mm de grosor, pues podríamos reducir el grosor, eliminando material (y peso, ovbio) y manteniendo el volumen y la forma.

Claro, pero es que yo estoy pidiendo como restricción que el grosor de las paredes sea FIJO. Para evitar el efecto "estiramiento" que permiten las ecuaciones del volumen y la superficie del cilindro, que sospecho que va implícito.

Si el grosor de las paredes es fijo, y le quitas materia, pierde volumen. Si le quitas algo de materia, no podría mantener la forma y el volumen, puesto que las paredes deben mantener su grosor constante. Si nos quitamos el problema del grosor, no hay dilema: Si quitas materia, quitas volumen. Si añades materia, aumentas el volumen.

Cita de: cloud633 en 12 de Diciembre de 2008, 00:16:55 AM
Si nos quitamos el problema del grosor, no hay dilema: Si quitas materia, quitas volumen. Si añades materia, aumentas el volumen.

¿En la misma proporción?

Estamos suponiendo que quitamos o añadimos materia al contorno de la lata, no? Es decir, al cilindro recto, no a las "bocas". En ese caso supongo que la respuesta a tu pregunta es sí.

PD: Me gustaría que PES o algún físico fuera leyéndome, porque es posible que esté violando leyes a tutiplén X-D.

Para nada es en la misma proporción. Es una problema de optimización. Básicamente, hay que dejar la función f(x) en función del radio, y optimizar este, calculando el máximo (segunda derivada).

¿Ya se ha dicho? Pues mira que bien, no me he leído el hilo...

Considerando unidades absolutas, podemos suponer un cilindro cuya altura sea 120 y su radio sea 50, y a éste le añadimos un grosor externo de 5. El volumen interno de este cilindro sería πr²·h=π·2500·120=942478. Ese mismo volumen lo tienen todos los cilindros tal que su altura es h=942478/(πr²), o dicho de otro modo, si suponemos un cilindro cuya altura sea 200, necesitamos que su radio sea r=√(942478/(πh))=√(942478/(200π))=38,7298. Este nuevo cilindro con una altura de 200 y un radio de 38,7298 encerraría un volumen tal que πr²·h=π·38,7298²·200=π·1500·200=942478, es decir, igual al volumen encerrado por el anterior cilindro. Aquí dejo unas imágenes de lo que digo...


He quitado la tapa de arriba para que se vea más claramente. Dime dónde está la relación entre el grosor de la lata y la superficie que encierra ésta, porque yo no la veo por ningún sitio.

No era sólo el grosor, sino también el número de cubitos. He hecho tu ejemplo desmontando el "cilindro" y montándolo en forma de prisma con el mismo número de cubitos (despliego el cilindro para formar un rectángulo, quito cubitos en la altura, los añado en la base y con eso monto un prisma que encierre un volumen), y creo que es cierto que el volumen resultante no es el mismo, pero no me entra en la cabeza. xD Coño, si al quitar de lo ancho quieres mantener el mismo volumen, tendrías que añadir la misma cantidad en el largo para compensar.

Tiene que haber trampa ahí, no me lo creo. El próximo paso será con figuras reales, piezas de lego formando un recipiente que llenaré de agua. Joder, el mundo está mal hecho. 

Pero a ver, ¿la lata es de refresco o de cerveza?

Cita de: Safer en 12 de Diciembre de 2008, 03:28:31 AM

Tiene que haber trampa ahí, no me lo creo.

Pues dándole vueltas, puede que sí que haya trampa. La lata de refresco que has construido ahí es engañosa. Tú has hecho un cilindro perfectamente circular con pequeños cuadraditos, lo cual es imposible, y es partiendo desde ese error el motivo por el que no me sale el mismo volumen. De hecho, era muy parecido, pero probablemente la diferencia entre el volumen del cilindro y el del prisma es la que hay entre un cilindro con "picos" y uno perfecto.

Me aburría, así que me he puesto a hacer el problema, a ver que salía.

(http://i32.photobucket.com/albums/d32/Ladril_500/PB160028.jpg)

Considero una lata compuesta por dos tapas y una corteza cilíndrica. El asunto es calcular lal superficie total del conjunto (interna y externa), y el volumen del material, para poder calcular su masa en función de ellos y luego minimizarla. G es el grosor del material.

En la superficie de cada tapón he considerado la superficie de abajo como la de arriba con un radio R-g, ya que esta es la superficie que "veríamos" desde dentro de la lata, no se si me explico.

Considero la superficie lateral de las tapas, la superficie interna y externa de la corteza, y todos los volumenes, y digo que la masa es todo eso multiplicado por una densidad arbitraria, ro. El volumen interno son los 1/3 L que se pedían, y de ahí saco la altura también en función de R. Ya solo quedaría derivar y resolver para ver la R que sale.

Realmente, para cada grosor g saldrá una cosa distinta, pero las diferencias son ínfimas, del orden del mismo grosor.

Y aquí represento la masa en función del radio por el método de considerar el grosor (azul), y por el método clásico de tener en cuenta solo la superficie(verde). El grosor que he puesto es de 3mm:

(http://i32.photobucket.com/albums/d32/Ladril_500/lata.jpg)

El radio en el cual las gráficas tienen un mínimo es muy parecido, pero no exactamente igual (o eso me parece a mi a ojo).

Probablemente haya fallos, o incluso esté todo el planteamiento mal. Pero no se, a mi me parece coherente  :-|
¿Era algo así lo que preguntabas, Safer?

Safer, no me jodas, ese cilindro está hecho con un programa de 3D, le puedo poner tantas subdivisiones como quiera, pero entonces mi ordenador explotaría, y no es plan. Ya sé que no se puede hacer un cilindro perfecto a partir de rectángulos, es obvio. Ahora después me leeré lo de Ladril...

Cita de: PES Hero en 13 de Diciembre de 2008, 16:24:14 PM
Safer, no me jodas, ese cilindro está hecho con un programa de 3D, le puedo poner tantas subdivisiones como quiera, pero entonces mi ordenador explotaría, y no es plan. Ya sé que no se puede hacer un cilindro perfecto a partir de rectángulos, es obvio. Ahora después me leeré lo de Ladril...

Pero es que se trata precisamente de eso. La razón por la que el volumen de mi prisma montado a base de cuadraditos no coincidía exactamente con el de tu cilindro, es que tú supusiste un cilindro con un interior perfectamente curvo, que es lo que rellena el volumen que a mí me faltaba.

Se puede ver mejor con un papel. El tubo del papel higiénico, pártelo, desdóblalo y monta un prisma con él. ¿Cabe la misma agua en esta figura que en el tubo de papel puesto de pie? Yo creo que sí.

Cita de: Safer en 13 de Diciembre de 2008, 19:38:19 PM
Se puede ver mejor con un papel. El tubo del papel higiénico, pártelo, desdóblalo y monta un prisma con él. ¿Cabe la misma agua en esta figura que en el tubo de papel puesto de pie? Yo creo que sí.

El círculo es la curva que encierra mayor área para un perímetro dado. Como el volumen es el área por la altura, cualquier figura que hagas que no sea ese círculo tendrá menos volumen...

Si haces un cuadrado de perímetro 2Rpi, su área será (Rpi/2)^2, que es menor que R^2pi.

Safer, depende, con una misma superficie se pueden montar prismas de diferente volumen. Es más, ¿qué tipo de prisma estás montando? ¿Un ortoedro? Sería cuestión de comprobarlo, pero en ese caso seguramente el prisma que mayor volumen encerraría sería el que tuviese todas las caras iguales, es decir, un cubo (es posible que me equivoque en esto). Además, y perdóname la grosería, no tengo ni puta idea de qué estás haciendo. X-D ¿Tienes en cuenta las bases del cilindro para montar el prisma? ¿Qué tiene todo esto que ver con la pregunta inicial del hilo? Ah, ¿cuál era la pregunta inicial del hilo? Y creo que Ladril está en lo cierto (en cuanto a su último mensaje, el otro todavía no lo he leído).

Cita de: PES Hero en 13 de Diciembre de 2008, 19:50:46 PM
Sería cuestión de comprobarlo, pero en ese caso seguramente el prisma que mayor volumen encerraría sería el que tuviese todas las caras iguales, es decir, un cubo (es posible que me equivoque en esto).

Pues yo creo que no, que tendrían el mismo volumen.

CitarAdemás, y perdóname la grosería, no tengo ni puta idea de qué estás haciendo. X-D

Pues estoy intentando comprobar empíricamente y con materiales reales si se puede reconstruir con la misma cantidad de material una figura distinta a otra y con distinto volumen. Las putas fórmulas no entienden de cantidad de material, sino sólo de superficie, porque no tienen la restricción de que el material no se puede deformar estirándolo, que es lo que yo quiero. Te lo he dicho muchas veces, pero te lo repito: esas fórmulas presuponen que puedes estirar el aluminio de la lata hasta el infinito. Puedes hacer una lata con una superficie igual a la de todo el universo si quieres, cooooño. ¿Te parece eso realista? ¿Puedes cubrir el universo entero con el alumunio de una lata de 33cl? Pues entonces.

Citar¿Tienes en cuenta las bases del cilindro para montar el prisma?

No, como te he dicho, parto de un cartón del papel higiénico, que no tiene bases. El prisma resultante tampoco las tendría. Sólo quiero sumar la superficie de las paredes.

Cita de: Safer en 13 de Diciembre de 2008, 20:08:20 PM

Pues estoy intentando comprobar empíricamente y con materiales reales si se puede reconstruir con la misma cantidad de material una figura distinta a otra y con distinto volumen.

Joder, Safer. Si coges el papel higienico y haces un prisma cuadrado con el cartón, te sale una figura distinta, con el mismo material, y menor volumen del que tenías antes.

Cita de: Ladril en 13 de Diciembre de 2008, 20:13:23 PM
Joder, Safer. Si coges el papel higienico y haces un prisma cuadrado con el cartón, te sale una figura distinta, con el mismo material, y menor volumen del que tenías antes.

Cuando gaste el papel del culo que tengo te daré las conclusiones de mi experimento. Aunque está jodido, porque  se va a romper xD.

Cita de: Safer en 13 de Diciembre de 2008, 20:18:28 PM

Cita de: Ladril en 13 de Diciembre de 2008, 20:13:23 PM
Joder, Safer. Si coges el papel higienico y haces un prisma cuadrado con el cartón, te sale una figura distinta, con el mismo material, y menor volumen del que tenías antes.

Cuando gaste el papel del culo que tengo te daré las conclusiones de mi experimento. Aunque está jodido, porque  se va a romper xD.

Fotos.

Joder, ese problema lo hice yo en 1º de bachillerato, es decir, el año pasado. Tú eres universitario, ¿no?

Cita de: jimmythegreattt en 14 de Diciembre de 2008, 23:29:09 PM
Joder, ese problema lo hice yo en 1º de bachillerato, es decir, el año pasado. Tú eres universitario, ¿no?

Conozco perfectamente las fórmulas y sé perfectamente cómo se resuelve el problema. Lo que intento ver (y comprender) es por qué no sucede lo que digo de que lo que le quitas por un sitio se lo pones por otro. Sospechaba que era porque las fórmulas no dicen nada de la elasticidad del material, y en parte tengo razón.