[gryphonheart]

Cuando tenemos que hallar límites de varias variables se hacen:

- Límites reiterados: Es como un colchón, pero no dicen mucho.
- Límites direccionales: Dicen algo más.

El problema que tengo es cuando los límites reiterados y los direccionales coinciden, ya que sabemos que si existe límite vale lo que nos ha dado, pero el caso es que hay que demostrar que existe, y nos han dicho que se hace con la definición.

No entiendo la definición ni a tiros. He probado con la de una variable y tampoco, no lo veo, no.



Definición:

Para todo e > 0 existe d > 0 tal que si || x - x₀|| < d, x € D(f) => || f(x) - l|| < e 



Ejemplo:

Demostrar que lim_(x,y)->(0,0) x²+y²=0

Sol: Dado e > 0 si tomamos d=___ resulta que si || (x,y) - (0,0) || = sqrt(x²+y²) < d entonces |f(x,y) - 0| = x²+y² < d² = e

Con lo que d=sqrt(e) y queda demostrado.

No entiendo ni por qué, ni qué rayos hay que hacer. Le pregunté a la profesora y me dijo que había que acotar la función o algo así. Necesito una mano, si no, tendré que rezar para que en el exámen ponga una función discontinua  .



El modelo en plan rellenar huecos, chuleta o como lo queráis llamar, es éste (vamos, lo típico de aprender de memoria y retocar  ):

Dada e > 0, si tomamos d=(1) resulta que si || (x,y)-( (2) )|| = sqrt(x²+y²) < d,
entonces |f(x,y) - 0 | = | (3) | < o = que | (4) | = | (5) | < d = (1)

Donde 1: Resultado
2: Punto del límite
3: ¿?
4: ¿?
5: ¿?

3,4,5 es el problema. Lo de acotar que no pillo 



Si sabéis alguna otra forma, bienvenida sea 

PD: Poned un puto editor matemático 

[Ángel]

¿Eso os lo enseñan en la universidad?

[gryphonheart]

¿Eso os lo enseñan en la universidad?

Sí, ¿cuál es el problema?

[Bodom]

¿Eso os lo enseñan en la universidad?

Esto es cada vez peor, voy a ir llamando a los colegas de los trajes blancos...

[Ángel]

¿Eso os lo enseñan en la universidad?

Sí, ¿cuál es el problema?

Joder, era una pequeña broma. De todos modos, era como "sorprendiendome" un poco, ya que no tienen ni punto de comparación con los limites que yo estoy dando.

[gryphonheart]

¿Eso os lo enseñan en la universidad?

Sí, ¿cuál es el problema?

Joder, era una pequeña broma. De todos modos, era como "sorprendiendome" un poco, ya que no tienen ni punto de comparación con los limites que yo estoy dando.

Si optas por convertirte en hinjeniero verás que tampoco es para tanto . Lo único esta espina que tengo clavada...

TAAAAAANIIIIIIIIIS, CLOUUUUUUD, algún alma caritativa, coño

[Tanis]

Definición:

Para todo e > 0 existe d > 0 tal que si || x - x₀|| < d, x € D(f) => || f(x) - l|| < e 



Ejemplo:

Demostrar que lim_(x,y)->(0,0) x²+y²=0

Sol: Dado e > 0 si tomamos d=___ resulta que si || (x,y) - (0,0) || = sqrt(x²+y²) < d entonces |f(x,y) - 0| = x²+y² < d² = e

Con lo que d=sqrt(e) y queda demostrado.

En este caso particular.

La idea es que para cualquier épsilon positivo que des, siempre va a existir un delta también positivo, de manera que si todos los puntos distan menos que delta de (0,0), entonces sus imágenes distan menos que épsilon.

En este caso, tomamos un épsilon positivo cualquiera y tenemos que ver para qué valores de (x,y) suficientemente cerca de (0,0), sus imágenes f(x,y) distan menos que épsilon de f(0,0)=(0,0). Es decir, a nosotros nos dan un épsilon y tenemos que encontrar el delta que hace que las imágenes estén suficientemente cerca de f(0,0).

Lo importante aquí es que estamos usando la norma || (x,y) - (a,b) || = sqrt[(x-a)²+(y-b)²]

Si particularizas (a,b)=(0,0), tienes || (x,y) - (0,0) || = sqrt(x²+y²) (1)

Ahora, la imagen de (x,y) es f(x,y):= x²+y²

¿Cómo podemos encontrar esos puntos cercanos a (0,0) de manera que las imágenes disten todo lo cerca que queramos de f(0,0)=(0,0)? Pues sencillo, porque si te fijas, si cojo cualquier punto, entonces dista (1) de (0,0). Si quiero asegurarme que la distancia de sus imágenes sea menor que épsilon, me bastará con coger aquellos puntos que estén la raíz cuadrada de épsilon.

Mierda, es complicado explicarlo así, sin papel y lápiz. No hago más que repetirme, pero es que la idea es esa, "encontrar delta dado épsilon" y en estos casos siempre es lo mismo, te aprovechas de alguna manera de la definición de distancia de dos puntos para encontrar esa delta... Tampoco sé exactamente cuál es tu duda y hasta qué punto sabes lo que estás haciendo...

Espero haberte ayudado un pelín... 

[gryphonheart]

Definición:

Para todo e > 0 existe d > 0 tal que si || x - x₀|| < d, x € D(f) => || f(x) - l|| < e 



Ejemplo:

Demostrar que lim_(x,y)->(0,0) x²+y²=0

Sol: Dado e > 0 si tomamos d=___ resulta que si || (x,y) - (0,0) || = sqrt(x²+y²) < d entonces |f(x,y) - 0| = x²+y² < d² = e

Con lo que d=sqrt(e) y queda demostrado.

En este caso particular.

La idea es que para cualquier épsilon positivo que des, siempre va a existir un delta también positivo, de manera que si todos los puntos distan menos que delta de (0,0), entonces sus imágenes distan menos que épsilon.

En este caso, tomamos un épsilon positivo cualquiera y tenemos que ver para qué valores de (x,y) suficientemente cerca de (0,0), sus imágenes f(x,y) distan menos que épsilon de f(0,0)=(0,0). Es decir, a nosotros nos dan un épsilon y tenemos que encontrar el delta que hace que las imágenes estén suficientemente cerca de f(0,0).

Lo importante aquí es que estamos usando la norma || (x,y) - (a,b) || = sqrt[(x-a)²+(y-b)²]

Si particularizas (a,b)=(0,0), tienes || (x,y) - (0,0) || = sqrt(x²+y²) (1)

Ahora, la imagen de (x,y) es f(x,y):= x²+y²

¿Cómo podemos encontrar esos puntos cercanos a (0,0) de manera que las imágenes disten todo lo cerca que queramos de f(0,0)=(0,0)? Pues sencillo, porque si te fijas, si cojo cualquier punto, entonces dista (1) de (0,0). Si quiero asegurarme que la distancia de sus imágenes sea menor que épsilon, me bastará con coger aquellos puntos que estén la raíz cuadrada de épsilon.

Mierda, es complicado explicarlo así, sin papel y lápiz. No hago más que repetirme, pero es que la idea es esa, "encontrar delta dado épsilon" y en estos casos siempre es lo mismo, te aprovechas de alguna manera de la definición de distancia de dos puntos para encontrar esa delta... Tampoco sé exactamente cuál es tu duda y hasta qué punto sabes lo que estás haciendo...

Espero haberte ayudado un pelín... 

Estoy empezando a verlo, dame tiempo para acabar de entenderlo , si tengo problemas ya volveré a postear ;D.

Muchas gracias!

[gryphonheart]

O sea, que creo que es lo que yo pensaba, pero no sé si la profe me entendió mal o qué

Tenemos e > 0 y un d > 0.
Tenemos el punto del límite (a,b), la norma, que es sqrt[(x-a)^2 + (y-b)^2]
También tenemos la imagen f(x,y), y el valor del límite.

Entonces hay que ver que f(x) sea menor que d y su relación con e


Me explico con otro ejemplo:

lim_(x,y)->(0,0) 5x²y / x²+y² ; Los límites direccionales y reiterados coindicen, dan 0.
Veamos si 0 es límite:

Dado un e > 0, si tomamos d= patata resulta que si la distancia hasta el (0,0) es menor que d entonces la distancia de sus imagenes al 0 es 5x²y / x²+y², y operando sale que es 5*sqrt(x^2+y^2) que es 5 veces
d, que es igual a epsilon y por lo tanto d = e/5.

Ahora tengo un cacao mental, pero antes de hacer el post creía entenderlo

[Tanis]

No exactamente. Tú no tienes un e y un d, sino que para cualquier e que escojas existe algún d que verifica lo de las distancias. Es decir, d depende de e.

[Cooll Woter]

"de que lo queda claro es de que a es a x como pi es a 28..."

[gryphonheart]

No exactamente. Tú no tienes un e y un d, sino que para cualquier e que escojas existe algún d que verifica lo de las distancias. Es decir, d depende de e.

Okis ;D. Creo entenderlo, máh o menoh , lo cual ya es un milagro.

Gracias ;D.

[Travis]

se suele decirt q el concepto de limite es uno de los mas complicados en matematicas¿no os parece exagerado?

[Tanis]

¿Uno de los más complicados?

[San_339]

A mi no em llamas, sólo a Tanis o Cloud... ¬¬

Ya vendrás pidiendo risketos, ya...